海伦公式求三角形面积推导（三角面积公式---海伦公式）
三角面积公式---海伦公式
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得
S=√
而公式里的p为半周长
p=(a+b+c)/2
证明（1）
与海伦在他的著作“Metrica“(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2absinC
=1/2ab√(1-cos^2 C)
=1/2ab√
=1/4√
=1/4√
=1/4√
=1/4√
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√
=√
所以，三角形ABC面积S=√
证明（2）
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4
当P＝1时，△ 2＝q,
S△=√{1/4}
因式分解得
1/16
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得
S△=√
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=c/2根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c》b》a.
知道三边长,求三角形面积.公式及其推导过程.
海伦公式,可利用三角形的三条边长来求取三角形面积.
假设三角形边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得
S=√
而公式里的 p=(a+b+c)/2
知道三边长，求三角形面积公式及其推导过程
任意三角形的面积公式（海伦公式）s=√p(p-a)(p-b)(p-c),
p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边。
证明
证一
勾股定理
分析先从三角形最基本的计算公式s△abc
=
aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明如图ha⊥bc，根据勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
s△abc
=
aha=
a×
=
此时s△abc为变形④，故得证。
证二斯氏定理
分析在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△abc边bc上任取一点d，
若bd=u，dc=v,ad=t.则
t
2
=
证明由证一可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
s△abc
=
aha
=
a
×
=
此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三余弦定理
分析由变形②
s
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
+
b2
－2abcosc
对其进行证明。
证明要证明s
=
则要证s
=
=
=
ab×sinc
此时s
=
ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四恒等式
分析考虑运用s△abc
=r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式若∠a+∠b+∠c
=180○那么
tg
·
tg
+
tg
·
tg
+
tg
·
tg
=
1
证明如图，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根据恒等式，得
+
+
=
①②③代入，得
∴r2(x+y+z)
=
xyz
④
如图可知a＋b－c
=
(x+z)＋(x+y)－(z+y)
=
2x
∴x
=
同理y
=
z
=
代入
④，得
r
2
·
=
两边同乘以
，得
r
2
·
=
两边开方，得
r
·
=
左边r
·
=
r·p=
s△abc
右边为海伦公式变形①，故得证。
证五半角定理
半角定理tg
=
tg
=
tg
=
证明根据tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得
r3
=
×xyz